클라인 4원군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 곱셈표
- 3.2. 자기 동형
4. 표현
5. 기하학적 의미
6. 응용
7. 역사
참조

1. 개요

클라인 4원군은 아벨 군 $\mathbb Z/2\times\mathbb Z/2$ 로 정의되며, 크기가 4인 두 개의 군 중 하나이다. 이 군은 항등원을 제외한 모든 원소의 차수가 2인 아벨 군이며, 자기 동형군은 3차 대칭군 $\operatorname{Sym}(3)$ 과 동형이다. 클라인 4원군은 여러 가지 방법으로 표현될 수 있으며, 유한체 $\mathbb F_4$ 와 동형인 구조를 갖는다. 기하학적으로는 직사각형의 대칭군으로 나타낼 수 있으며, 대수학, 그래프 이론, 음악 등 다양한 분야에서 응용된다. 이 군은 펠릭스 클라인에 의해 1884년에 명명되었다.

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클라인 4원군
개요
클라인 4원군의 케일리 표
종류	군
크기	4
성질	아벨 군
기호	math: V math: V math: ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ math: D math: A math: ""
군론적 성질
특성 부분군	모두
몫군	자명군, V, ℤ/2ℤ
Sylow 부분군	유일한 2-Sylow 부분군
생성원	2개의 원소로 생성 가능 (예: (1 2)(3 4)과 (1 3)(2 4))
관계	a² = b² = (ab)² = e
선형 표현	2차원 벡터 공간의 대각 행렬
자기 동형군	GL(2, 2) ≅ S
동형	ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ D (이면군)
부분군	자명군, 2차 순환군 (3개), V 자신
표현
순열군	S의 부분군으로 표현 가능
생성원과 관계
행렬	2x2 행렬로 표현 가능
응용
기하학	직사각형의 대칭군
암호학	일부 암호 시스템에서 사용
참고
관련 항목	클라인 병 사원수군

2. 정의

'''클라인 4원군'''은 아벨 군 $\mathbb Z/2\times\mathbb Z/2$ 이다.

클라인 4원군의 케일리 표는 다음과 같다.

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

클라인 4원군은 군 표현으로도 정의된다.

: $V = \left\langle a,b \mid a^2 = b^2 = (ab)^2 = e \right\rangle.$

클라인 군의 모든 비항등원의 차수는 2이므로, 두 개의 비항등원 중 어느 것이든 위의 표현에서 생성자 역할을 할 수 있다. 클라인 4원군은 가장 작은 비순환군이다. 그러나 이는 아벨 군이며, 차수(기수)가 4인 이변군과 동형이며, 기호는 $D_4$ (또는 기하학적 규칙에 따라 $D_2$ )로 표시된다. 차수가 2인 군 외에 아벨 군인 유일한 이변군이다.

클라인 4원군은 또한 직합 $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$ 와 동형이므로, 모듈러 산술(또는 동등하게는 비트 문자열 {00, 01, 10, 11}을 비트 XOR로)에 따라 성분별 덧셈 하에서 쌍 {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}로 나타낼 수 있으며, (0,0)은 군의 항등원이다. 따라서 클라인 4원군은 기초 아벨 2-군의 예이며, 이는 부울 군이라고도 한다. 클라인 4원군은 또한 두 개의 원소를 가진 집합의 멱집합의 부분 집합에 대한 이항 연산으로서 대칭 차이에 의해 생성되는 군이다. 즉, $\{\emptyset,\{\alpha\},\{\beta\},\{\alpha,\beta\}\}$ 와 같은 4개의 원소를 가진 집합의 체에 있다. 이 경우 공집합은 군의 항등원이다.

클라인 4원군의 또 다른 수치적 구성은 집합 {1, 3, 5, 7}이며, 연산은 모듈로 8 곱셈이다. 여기서 ''a''는 3이고, ''b''는 5이며, 1=''c'' = ''ab''는 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8)이다.

클라인 4원군은 또한 연산이 행렬 곱셈인 2 × 2 실수 행렬로 표현될 수 있다.

: $e =\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix},\quada = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix},\quad$

: $b = \begin{pmatrix}$

1 & 0\\

0 & 1\end{pmatrix},\quadc = \begin{pmatrix}

1 & 0\\

0 & -1\end{pmatrix}

루빅스 큐브에서 "4개의 점" 패턴은 비어 있는 면의 쌍에 따라 세 가지 방식으로 만들 수 있다. 이러한 세 위치는 해결된 위치와 함께 클라인 군의 예이며, 해결된 위치는 항등원 역할을 한다.

3. 성질

클라인 4원군은 4차 순환군 $\mathbb Z/4$ 와 더불어, 크기가 4인 두 개의 군 가운데 하나이다.

클라인 4원군은 아벨 군이며, 항등원을 제외한 나머지 원소들의 차수(order)는 2이다.

클라인 4원군은 군 표현으로 다음과 같이 정의된다.

: $V = \left\langle a,b \mid a^2 = b^2 = (ab)^2 = e \right\rangle.$

클라인 군의 모든 비항등원의 차수는 2이므로, 두 개의 비항등원 중 어느 것이든 위의 표현에서 생성자 역할을 할 수 있다. 클라인 4원군은 가장 작은 비순환군이다. 그러나 이는 아벨 군이며, 차수(기수)가 4인 이변군과 동형이다.

클라인 4원군은 또한 직합 $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$ 와 동형이므로, 모듈러 산술에 따라 쌍으로 나타낼 수 있으며, (0,0)은 군의 항등원이다. 따라서 클라인 4원군은 기초 아벨 2-군의 예이며, 이는 부울 군이라고도 한다. 클라인 4원군은 또한 두 개의 원소를 가진 집합의 멱집합의 부분 집합에 대한 이항 연산으로서 대칭 차이에 의해 생성되는 군이기도 하다.

클라인 4원군의 또 다른 수치적 구성은 집합이며, 연산은 모듈로 8 곱셈이다.

클라인 4원군은 또한 연산이 행렬 곱셈인 실수 행렬로 표현될 수 있다.

: $e =\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix},\quada = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix},\quad$

: $b = \begin{pmatrix}$

1 & 0\\

0 & 1\end{pmatrix},\quadc = \begin{pmatrix}

1 & 0\\

0 & -1\end{pmatrix}

루빅스 큐브에서 "4개의 점" 패턴은 비어 있는 면의 쌍에 따라 세 가지 방식으로 만들 수 있는데, 이러한 세 위치는 해결된 위치와 함께 클라인 군의 예이며, 해결된 위치는 항등원 역할을 한다.

''V''는 이 십자형의 대칭군이다. 가로로 뒤집거나(''a'') 세로로 뒤집거나(''b'') 둘 다 뒤집어도(''ab'') 변하지 않는다. 90도 회전은 이 십자형을 변화시킨다.

2차원에서 클라인 4원군은 마름모와 정사각형이 아닌 직사각형의 대칭군이며, 네 개의 요소는 항등원, 수직 반사, 수평 반사 및 180° 회전이다.

3차원에서는 대수적으로 클라인 4원군인 세 개의 다른 대칭군이 있다.

세 개의 수직 2배 회전축을 가진 것: 이각형군 $D_2$
2배 회전축과 수직 반사면을 가진 것: $C_{2\mathrm{h}}=D_{1\mathrm{d}}$
반사면 내에 2배 회전축을 가진 것 (그리고 따라서 수직 반사면 내에도): $C_{2\mathrm{v}}=D_{1\mathrm{h}}$ .

''S''₄ 내의 다른 표현은 다음과 같다.

:

:

:

이들은 ''S''₄의 정규 부분군이 아니다.

갈루아 이론에 따르면, 클라인 4원군의 존재는 사차 방정식의 근을 근으로 계산하는 공식의 존재를 설명한다.

유한환을 구성할 때, 네 개의 원소를 가진 11개의 환 중 8개는 클라인 4원군을 덧셈 하부 구조로 갖는다.

만약

\mathbb{R}^{\times}

가 0이 아닌 실수의 곱셈 그룹을,

\mathbb{R}^+

가 양의 실수의 곱셈 그룹을 나타낸다면,

\mathbb{R}^{\times}\times\mathbb{R}^{\times}

는 환

\mathbb{R}\times\mathbb{R}

의 단위군이며,

\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+

는

\mathbb{R}^{\times}\times\mathbb{R}^{\times}

의 부분군이다. 몫군

(\mathbb{R}^{\times}\times\mathbb{R}^{\times})/(\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+)

는 클라인 4원군과 동형이다. 유사하게, 분할 복소수 환의 단위군을 항등 성분으로 나누면 클라인 4원군이 된다.

단순 그래프 중 연결 그래프에서 클라인 4원군을 그래프 자기 동형 사상으로 갖는 가장 간단한 그래프는 다이아몬드 그래프이다.

음악 작곡에서 클라인 4원군은 12음 기법에서 기본적인 순열 그룹이다.^[2]

3. 1. 곱셈표

×	1	a	b	ab
1	1	a	b	ab
a	a	1	ab	b
b	b	ab	1	a
ab	ab	b	a	1

3. 2. 자기 동형

클라인 4원군의 자기 동형군은 3차 대칭군

\operatorname{Sym}(3)

과 동형이다.

클라인 4원군의 차수가 2인 세 개의 원소는 서로 바뀔 수 있다. 따라서 ''V''의 자기 동형 사상군은 이 세 원소의 순열의 군, 즉 대칭군

S_3

이다.

클라인 4원군 자신의 원소의 순열은 추상적으로 네 점에 대한 순열 표현으로 생각할 수 있다.

:V={(), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

이 표현에서

V

는 네 문자에 대한 교대군

A_4

(그리고 대칭군

S_4

)의 정규 부분군이다. 또한

S_4

의 추이적 부분군이며 갈루아 군으로 나타난다. 실제로,

S_4

에서

S_3

으로의 전사 군 준동형 사상의 핵이다.

4. 표현

클라인 4원군은 군 표현으로 다음과 같이 정의된다.

: $V = \left\langle a,b \mid a^2 = b^2 = (ab)^2 = e \right\rangle.$

클라인 군의 모든 비항등원의 차수는 2이므로, 위의 표현에서 두 개의 비항등원 중 어느 것이든 생성자 역할을 할 수 있다. 클라인 4원군은 가장 작은 비순환군이다. 그러나 이는 아벨 군이며, 차수(기수)가 4인 이변군과 동형이고, 기호는 $D_4$ (또는 기하학적 규칙에 따라 $D_2$ )로 표시된다. 차수가 2인 군을 제외하면 아벨 군인 유일한 이변군이다.

클라인 4원군은 직합 $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$ 와 동형이므로, 모듈러 산술에 따른 성분별 덧셈 하의 쌍 (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)로 나타낼 수 있으며, (0,0)은 군의 항등원이다. 따라서 클라인 4원군은 기초 아벨 2-군의 예이며, 부울 군이라고도 한다. 또한 클라인 4원군은 두 개의 원소를 가진 집합의 멱집합의 부분 집합에 대한 이항 연산으로서 대칭 차이에 의해 생성되는 군 $\{\emptyset,\{\alpha\},\{\beta\},\{\alpha,\beta\}\}$ 이며, 이 경우 공집합이 군의 항등원이다.

클라인 4원군의 또 다른 수치적 구성은 집합 {1, 3, 5, 7}이며, 연산은 모듈로 8 곱셈이다. 여기서 ''a''는 3, ''b''는 5, ''c'' = ''ab''는 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8)이다.

루빅스 큐브에서 "4개의 점" 패턴은 비어 있는 면의 쌍에 따라 세 가지 방식으로 만들 수 있는데, 이러한 세 위치는 해결된 위치(항등원 역할)와 함께 클라인 군을 이룬다.

클라인 4원군의 차수가 2인 세 원소는 서로 바뀔 수 있다. 따라서 ''V''의 자기 동형 사상군은 이 세 원소의 순열의 군, 즉 대칭군 $S_3$ 이다.

4. 1. 순열 표현

클라인 4원군 자신의 원소의 순열은 추상적으로 네 점에 대한 순열 표현으로 생각할 수 있다.

:

V={}

{(), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

이 표현에서

V

는 네 문자에 대한 교대군

A_4

(그리고 대칭군

S_4

)의 정규 부분군이다. 또한

S_4

의 추이적 부분군이며 갈루아 군으로 나타난다. 실제로,

S_4

에서

S_3

으로의 전사 군 준동형 사상의 핵이다.

''S''₄ 내의 다른 표현은 다음과 같다.

: {(), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4)}

: {(), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4)}

: {(), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3)}

이들은 ''S''₄의 정규 부분군이 아니다.

4. 2. 행렬 표현

클라인 4원군은 행렬 곱셈 연산을 통해 다음과 같이 2 × 2 실수 행렬로 표현할 수 있다.^[2]

:

e =\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix},\quada = \begin{pmatrix}1 &  0\\0 & -1\end{pmatrix},\quad

:

b = \begin{pmatrix}

1 & 0\\

0 & 1\end{pmatrix},\quadc = \begin{pmatrix}

1 & 0\\

0 & -1\end{pmatrix}

4. 3. 유한체 구조

유한체

\mathbb F_4

는 덧셈군으로 보면 클라인 4원군과 동형이다. 즉, 클라인 4원군에 곱셈을 정의해 유한체로 만들 수 있다.

5. 기하학적 의미

2차원에서 클라인 4원군은 마름모와 정사각형이 아닌 직사각형의 대칭군이며, 네 개의 요소는 항등원, 수직 반사, 수평 반사 및 180° 회전이다.

3차원에서는 대수적으로 클라인 4원군인 세 개의 다른 대칭군이 있다.

세 개의 수직 2배 회전축을 가진 것: 이각형군 $D_2$
2배 회전축과 수직 반사면을 가진 것: $C_{2\mathrm{h}}=D_{1\mathrm{d}}$
반사면 내에 2배 회전축을 가진 것 (그리고 따라서 수직 반사면 내에도): $C_{2\mathrm{v}}=D_{1\mathrm{h}}$

6. 응용

클라인 4원군은 루빅스 큐브의 "4개의 점" 패턴(해결된 위치는 항등원)과 같이 여러 분야에서 응용된다.^[2]

6. 1. 대수학

클라인 4원군의 케일리 표는 다음과 같다.

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

클라인 4원군은 <math>V = \left\langle a,b \mid a^2 = b^2 = (ab)^2 = e \right\rangle</math> 와 같이 군 표현으로 정의된다.

클라인 군의 모든 비항등원의 차수는 2이므로, 두 개의 비항등원 중 어느 것이든 위의 표현에서 생성자 역할을 할 수 있다. 클라인 4원군은 가장 작은 비순환군이다. 그러나 이는 아벨 군이며, 차수(기수)가 4인 이변군과 동형이고, 기호는 $D_4$ (또는 기하학적 규칙에 따라 $D_2$ )로 표시된다. 차수가 2인 군 외에 아벨 군인 유일한 이변군이다.

클라인 4원군은 직합 $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$ 와 동형이므로, 모듈러 산술에 따라 성분별 덧셈 하에서 쌍 (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)로 나타낼 수 있으며, (0,0)은 군의 항등원이다. 따라서 클라인 4원군은 기초 아벨 2-군의 예이며, 부울 군이라고도 한다.

클라인 4원군은 또한 두 개의 원소를 가진 집합의 멱집합의 부분 집합에 대한 이항 연산으로서 대칭 차이에 의해 생성되는 군이다. 즉, $\{\emptyset,\{\alpha\},\{\beta\},\{\alpha,\beta\}\}$ 와 같은 4개의 원소를 가진 집합의 체에 있으며, 이 경우 공집합은 군의 항등원이다.

클라인 4원군의 또 다른 수치적 구성은 집합 {1, 3, 5, 7}이며, 연산은 모듈로 8 곱셈이다. 여기서 ''a''는 3이고, ''b''는 5이며, ''c'' = ''ab''는 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8)이다.

클라인 4원군은 또한 연산이 행렬 곱셈인 2 × 2 실수 행렬로 표현될 수 있다.

: $e =\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix},\quada = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix},\quad$

: $b = \begin{pmatrix}$

1 & 0\\

0 & 1\end{pmatrix},\quadc = \begin{pmatrix}

1 & 0\\

0 & -1\end{pmatrix}

갈루아 이론에 따르면, 클라인 4원군의 존재는 사차 방정식의 근을 근으로 계산하는 공식의 존재를 설명한다.

유한환을 구성할 때, 네 개의 원소를 가진 11개의 환 중 8개는 클라인 4원군을 덧셈 하부 구조로 갖는다.

만약

\mathbb{R}^{\times}

가 0이 아닌 실수의 곱셈 그룹을,

\mathbb{R}^+

가 양의 실수의 곱셈 그룹을 나타낸다면,

\mathbb{R}^{\times}\times\mathbb{R}^{\times}

는 환

\mathbb{R}\times\mathbb{R}

의 단위군이며,

\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+

는

\mathbb{R}^{\times}\times\mathbb{R}^{\times}

의 부분군이다. 몫군

(\mathbb{R}^{\times}\times\mathbb{R}^{\times})/(\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+)

는 클라인 4원군과 동형이다. 유사하게, 분할 복소수 환의 단위군을 항등 성분으로 나누면 클라인 4원군이 된다.

6. 2. 그래프 이론

단순 그래프 중 연결 그래프에서 클라인 4원군을 그래프 자기 동형 사상으로 갖는 가장 간단한 그래프는 아래에 표시된 다이아몬드 그래프이다. 이것은 또한 엔티티가 더 적다는 의미에서 더 간단한 일부 다른 그래프의 자기 동형 사상이기도 하다. 여기에는 네 개의 꼭짓점과 하나의 변을 가진 그래프가 포함되는데, 이 그래프는 단순성을 유지하지만 연결성을 잃고, 두 개의 변으로 서로 연결된 두 개의 꼭짓점을 가진 그래프는 연결성을 유지하지만 단순성을 잃는다.

6. 3. 음악

음악 작곡에서 12음 기법의 순열 그룹은 클라인 4원군이다. 이 경우 케일리 표는 다음과 같다.^[2]

S	I	R	RI
I	S	RI	R
R	RI	S	I
RI	R	I	S

7. 역사

이 군은 펠릭스 클라인이 1884년에 발간한 책 《정이십면체와 5차 방정식의 해에 대한 강의》(Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade|정이십면체와 5차 방정식의 해에 대한 강의^de)에서 Vierergruppe|피러그루페^de라는 이름으로 언급되었다. 이는 Vierer|피러^de(4개로 구성된 것) + Gruppe|그루페^de(군)의 합성어이다.

참조

_[1] 서적 Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade
_[2] 간행물 "Twelve-Tone Invariants as Compositional Determinants" Oxford University Press 1960-04
_[3] 서적 Algebra https://archive.org/[...] Springer-Verlag

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